Faculté des
Sciences
Appliquées
Exercices des 12 et 18/11/99
   

Séance n° 8 : Fonctions vectorielles

1. Soit t une variable scalaire.

On considère un repère Oxy fixe, ainsi qu’un second repère mobile (dépendant de la variable t) O'XY. Ce dernier repère est défini de la façon suivante :

et

On considère également un point P sur l'axe OY, dont la position varie avec t, tel que :

a, k : constantes positives)

  On définit ensuite les deux fonctions vectorielles :

  1.  
  2. Exprimer les deux fonctions (composantes dans O'XY).
  3.  
  4. Déterminer le vecteur de Darboux des axes O'XY avec t comme variable scalaire.
  5.  
  6. Déterminer les composantes dans les axes O'XY de la dérivée première .
  7.  
  8. Déterminer les composantes dans les axes O'XY de la dérivée seconde .
  9.  
  10. Quelles relations permettent de passer d’une part de à , d’autre part de à  ?
  11.  
  12. Déduire les composantes dans les axes O'XY de et .
  13.  
  14. Exprimer et par leurs composantes dans Oxy ; en déduire , , et dans ces axes.
  15.  
  16. Comparer les résultats a) à g) (composantes dans le repère mobile) aux résultats g) (composantes dans le repère fixe). Quel est le choix de repère le plus judicieux ?
2. Soit la courbe C, lieu des points P, définis en coordonnées sphériques en fonction de la variable t par :

avec k > 0 (constante)

Cette courbe est l’hodographe de la fonction

( [0,2p/k)] ®  V ).

  1.  
  2. Représenter schématiquement la courbe.
  3.  
  4. Représenter la base des coordonnées sphériques en t = 0 et en t = p/(2k).
  5.  
  6. Déterminer le vecteur de Darboux de la base des coordonnées sphériques avec t comme variable scalaire.
  Déterminer les vecteurs dérivée première et dérivée seconde de la fonction vectorielle , par leurs composantes dans le repère sphérique.

Calculer et représenter sur la courbe C les vecteurs obtenus en d) lorsque j = 0.


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