Equations du mouvement 
Le skieur a-t-il intérêt à se lancer du haut du tremplin avec une vitesse initiale?  
Qu'apportent la résistance de l'air et l'orientation des skis pendant la chute libre du skieur 
Quel est l'effet sur le saut du mouvement de flexion du skieur avant de s'élancer dans le vide ?

Sur la pente:  

Suivant 1n : R=mg sin p/4  

Suivant 1t :  

Où décrit la résistance de l'air au mouvement.  

En éliminant R entre les deux membres: l'équation du mouvement suivant 1t devient:  

En multipliant les deux membres par v et en intégrant (en tenant compte de v.dv/dt = 1/2.dv²/dt et v=dl/dt)  

(1)  

où l est la longueur parcourue suivant la pente; c'est la longueur d'arc de la pente.  

Sur le quart de circonférence:  

Suivant 1n :  (2)  

Suivant 1t :  (3)  

(Solution analytique de (5) en Annexe 1) 
Les conditions initiales de l'équation du mouvement (5) sont q=45° et v= la vitesse donnée par la résolution de (1) pour l = 50 m  

En vol libre:  

L'équation du mouvement du skieur en vol libre s'écrit:   

ce qui donne:  

avec   

Les conditions initiales de l'équation du mouvement (6) sont données par la résolution de (5) pour q=90°.  

  Haut de la page 

LE SKIEUR A-T-IL INTERET A SE LANCER DU HAUT DU TREMPLIN AVEC UNE VITESSE INITIALE NON NULLE POUR MAXIMISERLA LONGUEUR DU SAUT ?  

Figure 1 (abscisse et ordonnée en m)

La Figure 1 montre la trajectoire en vol libre du skieur pour une vitesse initiale en haut du tremplin variant de 0 à 10 m/s. Comme on le voit la portée est améliorée de quelques mètres seulement. La vitesse initiale n'a pas beaucoup d'importance. 

Haut de la page 

QUEL EST L'EFFET SUR LE SAUT DU MOUVEMENT DE FLEXION QUE LE SKIEUR FAIT SOUVENT EN S'ELANÇANT DANS LE VIDE

Code Matlab en Annexe 3 du corrigé placé sur le site du service (les lignes de code qui ont changé par rapport à ci-dessus sont en italique). 

Ce mouvement de flexion a pour effet de donner une composante verticale non nulle à la vitesse initiale du mouvement en vol libre décrit par les équations (6). 
C'est ce que montre la courbe rouge de la Figure 2 où vz=10 m/s (valeur exagérée pour les besoins de la démonstration). Comme on le voit, la portée en est améliorée par rapport à la courbe bleue où vz=0 m/s. 

Figure 2: abscisse et ordonne en m  

Haut de la page 

QU'APPORTENT LA RESISTANCE DE L'AIR ET L'ORIENTATION DES SKIS PENDANT LE MOUVEMENT EN CHUTE LIBRE DU SKIEUR 

Prenons AL=AD=0 (on impose AL=AD=0 dans le module ski_jump_libre_eq).   

  Figure 3 (abscisse et ordonnée en m)
courbe bleue AD=AL=0
   courbe rouge AD=1.35 et AL=0.31 

On retrouve bien entendu la parabole de tir.  

L'effet de la résistance de l'air (force D) et de l'orientation des skis (force L) est d'incurver la trajectoire  (rouge) beaucoup plus que la parabole de tir mais de ralentir la vitesse de chute. Contrairement à une idée assez répandu, le skieur ne plane pas; par contre, il tombe moins vite qu'en chute libre. En effet, les deux courbes donnent la position finale du skieur après 10 secondes (voir code). En chute libre avec AD=AL=0, le skieur est déjà beaucoup plus loin.  

Si AL devient suffisamment grand (skis de surface plus grande), le skieur va se mettre à planer comme le montre la Figure 4    

  Figure 4 (abscisse et ordonnée en m) - 
courbe rouge AL=3 x 0.31   
courbe bleue AL=0.31   

Haut de la page 

ANNEXE 1  

A titre documentaire, on résout analytiquement (5):  
  

La solution générale de l'équation homogène s'écrit:   

La solution particulière de l'équation non homogène est résolue de la manière suivante:  

On pose:  

En remplaçant dans l'équation (5):  

M A cos q - M B sin q  + N A sin q  + B N cos q  = L cos q  - m L sin q    

Comme cette équation doit être vraie pour tout q, il vient par identification des cos et des sin:  

M A + B N = L et -M B + N A = - m L   

Il vient:  

Dès lors la solution générale de (5) est la somme de la solution générale de l'équation homogène et de la solution particulière de l'équation non homogène:  

La constante est donnée par la condition initiale sur v² = quand q =45°  

Haut de la page 

ANNEXE 2: Si Al augmente, le skieur se met à planer 

C'est logique quand on regarde les équations (6) du mouvement; les expressions   

et    

sont toutes deux négatives de sorte qu'elles introduisent une décélération suivant x et y. D'où la plus grande "incurvature" de la courbe bleue. Tant la courbe bleue que la courbe rouge montre la portée pour un temps de parcours de 10 s. La courbe bleue s'arrête plutôt du fait de ce freinage introduits par les termes:   

et   

Si AL est suffisamment grand, l'expression  peut devenir positif de sorte qu'on a une accélération du mouvement suivant x par rapport à la parabole de tir usuelle. En effet, sans vitesse initiale vZ, au moment où le skieur s'élance du tremplin, vz vaut initialement 0 puis adopte immédiatement des valeurs négatives.   

Dès lors si , >0  

C'est ce qu'on voit à la (courbe bleue): le skieur se met à planer….   

Haut de la page 

   
ANNEXE 3: Code Matlab pour la question 2